Funktionsuntersuchung bei einer e-Funktion

Funktionsuntersuchung einfach erklärt:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-x}{e^{x-2}}$

Du hast die Funktion vor dir und weißt nicht, wo du anfangen sollst? In diesem Artikel führen wir dich Schritt für Schritt durch die komplette Funktionsuntersuchung – mit Beispielen, klaren Erklärungen und einem kleinen Mathe-Boost für dein Selbstvertrauen.

Heute schauen wir uns mal eine Funktion an, die auf den ersten Blick etwas wild aussieht – aber keine Sorge: Schritt für Schritt kriegen wir sie gemeinsam in den Griff!

Das solltest du bereits können:

• Extremstellen: notwendige und hinreichende Bedingung
• Nullstellen berechnen
• pq-Formel kennen und sicher anwenden
• Termumformungen
• Produktregel
• Kettenregel

1. Definitionsbereich

Im Nenner steckt die Exponentialfunktion $e^{x-2}$ . Die ist nie null, also ist der gesamte Bruch für alle $x$ definiert.

Ergebnis: $D\left(f\right)=ℝ$ (Menge der reellen Zahlen)

2. Nullstellen

Für Nullstellen setzen wir den Zähler gleich null:

$x^2-x=0$

Ausklammern ergibt:

$x(x-1)=0$

Ergebnis: Nullstellen bei $x=0$ und $x=1$

3. Verhalten im Unendlichen

Für $x\to \infty$ :

Der Zähler wächst quadratisch, aber der Nenner exponentiell – und da die e-Funktion viel schneller wächst, dominiert sie.

Kurz: „Die e-Funktion gewinnt“

$\underset{x\to \infty }{lim}f\left(x\right)=0$

Für $x\to -\infty$ :

Hier wird der Nenner sehr klein (aber nicht null), während der Zähler groß wird – also strebt die Funktion gegen unendlich.

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\infty$

4. Erste Ableitung

Um die Produktregel anzuwenden, schreiben wir die Funktion so um:

$f\left(x\right)=(x^2-x)\cdot e^{-x+2}$

Vereinfacht wird das:

$\mathrm{f\text{'}}\left(x\right)=e^{-x+2}\cdot (-x^2+3x-1)$

5. Extremstellen

Die Ableitung soll null sein – also betrachten wir den Ausdruck in der Klammer:

$-x^2+3x-1=0$

Multiplizieren mit $-1$ zur Vereinfachung:

$x^2-3x+1=0$

Jetzt kommt die pq-Formel zum Einsatz. Umformen auf $x^2+px+q=0$ :

$p=-3$ , $q=1$

Einsetzen in die Formel:

$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\frac{p}{2}}^2-q}$

Ergebnisse: Extrempunkte bei $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ und $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Hinreichende Bedingung: Zweite Ableitung

Zur Bestätigung berechnen wir die zweite Ableitung $\mathrm{f\text{'}\text{'}}\left(x\right)$ und setzen die gefundenen $x$ -Werte ein.

Ist $\mathrm{f\text{'}\text{'}}\left(x\right)>0$ → Minimum, ist $<$ → Maximum.

6. Asymptoten

Für $x\to \infty$ : Der Funktionswert nähert sich 0 ⇒ waagrechte Asymptote bei $y=0$ .

7. Typische Fehlerquellen

• Die Produktregel mit der Kettenregel durcheinander bringen
• Vergessen, dass $e^x$ nie null wird
• Ungenaues Umformen in der Ableitung
• Unsicherheiten bei der pq-Formel

Fazit

Eine vollständige Funktionsuntersuchung sieht erstmal nach viel aus – aber wenn du dir die Schritte klar machst und sauber arbeitest, klappt das prima. Und mit etwas Übung wirst du sicherer bei jedem Schritt. 💪

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Stichworte:

Asymptote, Definitionsbereich, e-Funktion, Exponentialfunktion, Funktionsuntersuchung, Grenzwert, Kettenregel, Kurvendiskussion, Produktregel

Artikel von Frank, Idee & Konzept. Technische Umsetzung (HTML & MathML) mit Unterstützung durch ChatGPT.