I. Nullstellen berechnen einfach erklärt – Schritt für Schritt mit Beispielen

Nullstellen berechnen – verständlich erklärt

Nullstellen sind ein zentrales Thema in der Mathematik – egal ob bei Funktionen oder Gleichungen. Wer sie versteht, hat einen echten Vorteil, nicht nur in Klassenarbeiten, sondern auch später bei komplexeren Themen wie Exponential- oder Polynomgleichungen. In diesem Beitrag erfährst du klar und Schritt für Schritt, wie du Nullstellen findest, warum sie so

wichtig sind und welche Methoden du wann anwenden solltest.

Hier schauen wir uns die Nullstellenberechnung aus der Mittelstufe aber noch ohne die pq-Formel an. 😮💨

✅ Was solltest du schon können:

• Du weißt, was eine Funktion ist (z. B. f(x) = 2x + 3)

• Du kannst einfache Gleichungen umstellen

• Du kennst die Grundformen von linearen und quadratischen Funktionen

• Du weißt, wie man ausklammert und einfache Terme faktorisiert

• Du weißt, was Binome sind und kannst beide Formen ineinander umwandeln

🧠 Weise Worte – warum das Thema Nullstellen so wichtig ist:

“Warum soll ich das können?” – Weil Nullstellen mehr sind als nur ‘irgendwelche Punkte’. 

So eine Antwort ist natürlich nicht akzeptabel.

Versuchen wir es so:

Nullstellen helfen dir dabei, den Verlauf einer Funktion zu verstehen.

Sie zeigen, wo der Graph die x-Achse (Angebersprache: Ordinate) schneidet, und sie sind der Schlüssel zu vielen anderen Aufgabenbereichen in der Mathematik.

Außerdem begegnen dir ähnliche Rechenschritte auch bei anderen Gleichungsarten – von linearen Gleichungen  bis hin zu Exponentialfunktionen, später in der Oberstufe ab etwa Stufe 12.

Und ganz praktisch: Wenn du den Funktionsterm gleich Null setzt, bekommst du die Gleichung, die du lösen musst, um an die Lösung zu kommen.

Diese Idee ist einfach – aber extrem mächtig.

🔍 Wie finde ich die Nullstellen?

Das hängt vom Funktionstyp ab. Und ja – das kannst du ganz easy Schritt für Schritt lernen:

1. Nullstellen bei linearen Funktionen

Grundform: f(x) = ax + b = 0

So geht’s:

1. Funktion gleich Null setzen

2. Nach x umstellen

Beispiel:

f(x) = 3x – 6 = 0

→ 3x = 6

→ x = 2

Probe:

f(2) = 3·2 – 6 = 0 ✔

2. Nullstellen bei quadratischen Funktionen

Quadratische Funktionen gibt es in verschiedenen Formen – und je nach Form gehst du

anders vor:

a) Nullstellenform / Linearfaktorform

f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)

Hier kannst du die Nullstellen direkt ablesen!

Wir benutzen hierzu den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Bitte was? Ganz einfach, das kennst du. Irgendwas mal Null ist immer Null! Überleg dir nur:

Welche Zahl muss ich für x einsetzen, damit dieser Faktor Null wird?

Beispiel:  f(x) = x(x – 4)

Erste Faktor ist Null, wenn du x=0 setzt → x₁ = 0



Der zweite Faktor wird Null, für x = 4 → x₂ = 4

→ Nullstellen: x₁ = 0 und x₂ = 4

Dann rechne immer eine Probe -die gefunden Lösung in deine Gleichung einsetzen-, das geht schnell und du kannst sicher sein, dass du die richtige Lösung hast. Das kann in der Klassenarbeit/Klausur durchaus auch beruhigen 😎!

Also Probe:

f(0) = 0·(0 - 4) = 0 ✔

f(4) = 4·(4 - 4) = 0 ✔ Okay, beide Nullstellen gefunden!

a) Normalform

f(x) = ax² + bx + c

Hier musst du meistens umformen oder faktorisieren. 

Bei der Normalform gibt es verschiedene Varianten, mal ist b = 0, mal ist c = 0.

a = 0 kommt da nicht vor, weil dann ist es ja keine quadratische Gleichung/Funktion mehr.

Beispiel b = 0:

(a) Entweder über das 3. Binom faktorisieren, das ist die Angebervariante. Die hat aber einen Vorteil, wir erkennen die beiden Lösungen und machen den typischen Fehler nicht.

Jetzt haben wir die Nullstellenform.

g(x) = x² – 4

→ x² – 4 = 0

→ (x + 2) (x – 2) = 0

→ x₁ = –2 und x₂ = 2

(b) Oder nach x² auflösen und dann die Wurzel ziehen. Und hier lauert eine gemeine Falle.

g(x) = x² – 4

→ x² – 4 = 0 hat zwei Lösungen!

Genau hier lauert die Falle, weil 2 · 2 = 4 ist, aber ebenso ist auch -2 · (-2) = 4 !

→ x₁ = –2 und x₂ = 2

Probe:

(–2)² – 4 = 0 ✔

2² – 4 = 0 ✔

💡 Merktipp: Immer versuchen, auf Nullstellenform umzustellen!

Häufig hilft dir Ausklammern oder Faktorisieren, um aus einer unübersichtlichen Funktion eine einfache Nullstellenform zu machen.

(c) Beispiel: c = 0

f(x) = 3x² – 3x

→ x ausklammern: x · (3x – 3) = 0

→ x₁ = 0 und x₂ = 1

Probe:

f(0) = 0 ✔

f(1) = 0 ✔

b) Scheitelpunktform

f(x) = a (x – e)² + f

Hier musst du nach x auflösen, z. B. indem du die Klammer ausrechnest, das Binom ausmultiplizierst oder die Wurzel ziehst – aber das ist ein Fall für später, wenn’s etwas anspruchsvoller wird.

3. (Gebrochen)Rationale Funktionen

⚠️Vorsicht bei Brüchen: Definitionsbereich beachten!

Rationale Funktionen sind Funktionen, die wir als Bruch von zwei Funktionen schreiben können. Eine Funktion steht im Zähler, die andere im Nenner.



Ein Nenner darf nie null sein. Wenn ein x im Nenner steht, müssen wir wirklich genau aufpassen. Du musst genau hinschauen, ob eine rechnerische Lösung auch wirklich erlaubt ist.

Beispiel:

→ Definitionsbereich: x ≠ 0

→ Dann setzen wir nur den Zähler = 0 und klammern aus. Ja, schon wieder ausklammern, das machen wir so oft es möglich ist und du machst das demnächst ganz automatisch.

→ x · (x-1) = 0

→ x · (x-1) = 0 hat die Lösungen

-Satz vom Nullprodukt-

 x = 0 und x = 1.

Aber: x = 0 ist genau nicht erlaubt!

→ Nur x = 1 ist als Lösung zulässig

Probe:

f(1) = (1 – 1) / 1 = 0 ✔



Noch ein Tipp, um den Graphen zu zeichnen, das ist nämlich eine lineare Funktion! Wir

dürfen den Definitionsbereich nicht ändern, aber wir dürfen zum zeichnen den Term

An der Definitionslücke würde der Graph die y-Achse schneiden, also das ist echt keine Nullstelle!

In der Zeichnung erkennen wir das am offen Punkt.

✏ Fazit: Nullstellen berechnen ist kein Hexenwerk

Wenn du verstanden hast, was eine Nullstelle ist (nämlich der Schnittpunkt mit der x-Achse), und wie du je nach Funktionstyp vorgehst, dann hast du schon fast gewonnen.

Egal ob lineare oder quadratische Funktionen – es geht immer darum, den Funktionsterm gleich Null zu setzen und die passende Methode anzuwenden: umstellen, faktorisieren oder ablesen.

Ein besonders wichtiger Punkt ist, dass du den Definitionsbereich nicht vergisst, vor allem bei Brüchen. Nur weil eine Zahl rechnerisch eine Lösung ist, heißt das noch lange nicht, dass sie auch erlaubt ist.

Mit etwas Übung wirst du merken:

👉 Nullstellen berechnen ist kein „Zufallsprinzip“, sondern eine klare Strategie.

Und die kannst du lernen.