II. Nullstellen mit der PQ-Formel – Interaktive Erklärung

Frank Lüttschwager • 12. April 2025

II Nullstellen berechnen mit der PQ-Formel - einfach erklärt

Nullstellen sind die x-Werte, bei denen eine Funktion den y-Wert 0 hat.

Grafisch bedeutet das: Der Funktionsgraph schneidet die x-Achse genau an diesen Stellen.  -> I Nullstellen

Bei quadratischen Funktionen (also Parabeln) sind das oft zwei Punkte – manchmal auch nur einer oder gar keiner.

Aber wie findet man diese Punkte?

Dein Mathe-Tool: Die PQ-Formel

Die PQ-Formel hilft dir, die Nullstellen quadratischer Gleichungen zu berechnen – ganz ohne Taschenrechnertricks. Wichtig ist, dass die Gleichung vorher in der sogenannten Normalform vorliegt:

x 2 + p x + q = 0

Dann sieht die PQ-Formel so aus:

x 1 , 2 = - p 2 ± p 2 2 - q

Klingt kompliziert? Keine Sorge – gleich wird’s praktisch.


👉 Wichtig: Die PQ-Formel funktioniert nur, wenn vor dem x² kein anderer Faktor steht. Falls doch, musst du vorher alles durch diesen Faktor teilen.



Was verrät dir die Diskriminante?

Die Diskriminante ist der Teil unter der Wurzel in der PQ-Formel:

p 2 2 - q

Je nachdem, wie groß dieser Ausdruck ist, gibt es unterschiedliche viele Lösungen:


  • Wenn die Diskriminante positiv ist (> 0) → zwei Nullstellen
  • Wenn sie genau 0 ist → eine doppelte Nullstelle (die Parabel berührt die x-Achse)
  • Wenn sie negativ ist (< 0) → keine reellen Nullstellen (die Parabel schneidet die x-Achse nicht)


Diese Fallunterscheidung hilft dir schnell zu sehen, ob du zwei, eine oder keine Lösungen bekommst.


Was ist, wenn unter der Wurzel was Negatives steht?

Dann heißt es (erstmal): keine Lösung.



Denn in der Schulmathematik rechnet man nicht mit komplexen Zahlen – also einfach notieren:


„Also: einfach sagen, keine Lösung, und fertig.“

Was du schon können solltest:

Damit dir das Rechnen leichter fällt, solltest du Folgendes können:


  • Klammern auflösen und Terme umformen


  • Wurzeln und Potenzen


  • Sicheres Rechnen mit Brüchen


  • Binomische Formeln erkennen


  • Grundverständnis für Gleichungen


x 2 + p x + q = 0
x 1 , 2 = - p 2 ± p 2 2 - q

Dann gilt in der Schulmathematik:


Keine Lösung.


Denn ein negativer Ausdruck unter der Wurzel bedeutet, dass die Gleichung keine reellen Nullstellen hat – die Parabel schneidet die x-Achse also nicht.


Also: einfach sagen, keine Lösung, und fertig.


Vorgerechnete Beispiele


Tipp: Nehmt euch ein Stück Papier und einen Stift und rechnet mit!


1. Beispiel

f ( x ) = x 2 - 2 x - 3

Dann schreibt:

f ( x ) = 0

⚠️ Bei manchen Lehrern müsst ihr das schreiben!


Dann notiert bitte, was p und q ist.

p = -2 und q = -3

Jetzt alles einsetzen

x 1 , 2 = - - 2 2 ± - 2 2 2 - ( - 3 )

Bitte erst die Diskriminante berechnen:

- 2 2 2 - ( - 3 )   =   1 + 3   =   4   >   0

Das ist größer 0, also weiter.

x 1 , 2 = 1 ± 4
x 1 = 3       u n d     x 2 = - 1

Das sind die gesuchten Lösungen.

2. Beispiel

f ( x ) = x 2 - 3 2 x - 1
f ( x ) = 0
p = - 3 2       u n d       q = - 1

Und, erst wieder die Diskriminante berechnen.


Hier bitte beim Einsetzen vorsichtig sein, wenn wir -3/2  durch 2 dividieren dann haben wir zwei Bruchstriche.

Das ist häufig schwierig. Besser: den Bruch mit dem Kehrwert von 2, also 1/2 multiplizieren.

- 3 2 · 1 2 2 - - 1   =   3 4 2 + 1
9 16 + 16 16 =   25 16

Die Diskriminante ist größer Null, also weiter:

x 1 , 2 = 3 4 ± 25 16

Wenn wir die Wurzel eines Quotienten ziehen, dann rechnen wir einmal die Wurzel des Zählers aus und einmal die Wurzel des Nenner aus. Easy!

x 1 = - 3 4 + 5 4 = 2 4 = 1 2
x 2 = - 3 4 - 5 4 = - 8 4 = - 2

Hier sind die beiden Lösungen also einmal der Bruch 1/2 und einmal die ganze Zahl -2.

📦 Wozu brauchst du die PQ-Formel eigentlich?


Im Alltag? Eher selten.


Im Matheunterricht? 🛠️ Ja natürlich! Die pq-Formel ist ein wichtiges Tool!

 

Das werdet ihr in der Oberstufe merken. Dann werden Nullstellen eine große Rolle spielen. Das Beispiel aus der Oberstufe rechnet eine Aufgabe mit der pq-Formel!



 


Aber in Technik, Informatik und Wirtschaft ist sie Gold wert:


  • 🎯 Flugbahnen berechnen (z. B. in Physik & Ballistik)


  • 💻 Kollisionsberechnungen in Games und Simulationen


  • 📊 Kosten & Gewinne modellieren in der Wirtschaft


  • 🔧 Maschinenbau, Bauingenieurwesen, Elektrotechnik


Und selbst wenn du sie nach der Schule nie wieder brauchst:


Die PQ-Formel trainiert dein Denken – und das brauchst du immer.

So und jetzt ihr!

f ( x ) = 2 x 2 - 11 x + 5

Aber vorher normalisieren. Also die ganze Gleichung durch zwei dividieren.


Lösungen:

x 1 = 5     u n d     x 2 = 1 2
g ( x ) = 2 x 2 + 2 x - 15 2
x 1 = - 5 2   u n d   x 2 =   3 2

So funktioniert die Übung:

In dieser interaktiven Aufgabe berechnest du die Nullstellen einer quadratischen Funktion mit der PQ-Formel – Schritt für Schritt.

  • Schau dir die Gleichung an und trage p und q richtig ein.
  • Berechne die Diskriminante D = (p/2)² - q.
  • Überlege: Gibt es keine, eine oder zwei Lösungen?
  • Berechne die Nullstellen (wenn möglich) – ohne Taschenrechner!
  • Am Ende wird deine Lösung grafisch dargestellt.

Du kannst jederzeit eine neue Aufgabe starten. Viel Erfolg!

Interaktive Übung: Nullstellen berechnen mit der PQ-Formel

1. Gleichung ansehen