Nullstellen berechnen III – Polynom-Division & Newton-Verfahren einfach erklärt
POLYNOM-DIVISION
Einleitung
In den ersten beiden Teilen unserer Nullstellen-Reihe haben wir bereits zwei grundlegende Methoden zur Nullstellenbestimmung behandelt:
In diesem dritten Teil stellen wir zwei weitere Methoden vor:
- Die Polynom-Division – wenn schon eine Nullstelle bekannt ist
- Das Newton-Verfahren – zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen
Was ist Polynom-Division
Die Polynom-Division ist ein Verfahren, bei dem man ein Polynom durch ein anderes teilt – meist durch einen Linearfaktor wie (x - a), wenn man bereits eine Nullstelle bei x=a kennt.
Das Ziel ist, ein Polynom in Faktoren zu zerlegen, um weitere Nullstellen einfacher zu bestimmen.
Merktipp:
Die Teiler der Zahl ohne x (also der absoluten Zahl im Polynom) sind häufig Nullstellen – probiere sie einfach durch! Das ist übrigens der Nullstellen Satz von Vieta. Falls das jemanden interessiert 🤓.
Beispiel
Wir untersuchen das Polynom auf Nullstellen:
f(x) = 3x³ - 21x + 18 = 0
Wir vermuten oder wissen, dass x = 1 eine Nullstelle ist, weil f(1) = 0 ist.
Daher teilen wir f(x) durch (x - 1).
Ergebnis der Division
Die Division ergibt:
f(x) = (x - 1) (3x² +3x -18)
Das neue Polynom 3x² + 3x -18 kann man nun weiter untersuchen – z. B. mit der PQ-Formel.
Die Polynom-Division war lange Teil des Schulstoffs – heute ist sie vielerorts aus dem Lehrplan verschwunden. Der Bildungsplan setzt inzwischen aber stärker auf „Kompetenzorientierung“ und weniger auf mathematisches Handwerkszeug.
Mittelmäßigkeit ist der neue Anspruch, solange sie in Kompetenzen versteckt wird.
Warum eigentlich Polynom-Division – macht der Taschenrechner das nicht?
Wenn du ein kompliziertes Polynom auf dem Papier lösen willst, ist die Polynom-Division oft der Schlüssel:
Hast du eine Nullstelle erraten oder berechnet, kannst du damit den Term vereinfachen – so weit, dass du z. B. den Rest mit der PQ-Formel lösen kannst.
Das ist präzise, ordentlich und nachvollziehbar.
Und jetzt fragst du dich vielleicht:
„Macht der Taschenrechner das nicht auch?“
→ Nein. Taschenrechner führen keine Polynom-Division aus.
Stattdessen verwenden sie Näherungsverfahren wie beispielsweise das Newton-Verfahren: Sie starten mit einem geschätzten Wert und nähern sich der Nullstelle Schritt für Schritt – manchmal erfolgreich, manchmal nicht.
Kurz gesagt:
- Auf dem Papier rechnest du mit Struktur.
- Der Taschenrechner rät sich mit Methode ans Ziel.
NEWTON-VERFAHREN
Erklärung Newton-Verfahren
Manche Funktionen lassen sich nicht „einfach so“ faktorisieren – oder liefern keine Nullstellen, die man direkt sieht.
Hier kommt das Newton-Verfahren ins Spiel: ein rechnerisches Verfahren, mit dem man eine Nullstelle schrittweise näherungsweise bestimmen kann.
Die Idee ist simpel:
Man beginnt mit einem geschätzten Wert (Startwert) und wiederholt dann mehrmals denselben Ablauf:
- Berechne den Funktionswert und die Steigung (Ableitung) an diesem Punkt.
- Finde die Tangente an dieser Stelle.
- Nutze den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse als neuen Startwert.
So tastet man sich von Punkt zu Punkt immer weiter an die Nullstelle heran – oder auch nicht, je nachdem, wo man angefangen hat.
Voraussetzung
Die Funktion f(x) muss dafür differenzierbar sein.
Wie finde ich einen Startwert?
- Zeichne eine Skizze der Funktion oder nutze einen Taschenrechner
- Suche nach einem Vorzeichenwechsel in f(x)
- Nutze eine Wertetabelle
- Probiere mehrere Startwerte aus, wenn du unsicher bist
Taschenrechner-Verhalten
Was macht eigentlich der Taschenrechner genau?
Wenn du auf deinem Taschenrechner „Gleichung lösen“ oder solve() benutzt, arbeitet er meist mit einem Näherungsverfahren wie dem Newton-Verfahren.
Das bedeutet:
- Der Rechner wählt intern einen Startwert, so wie du gerade in der Simulation
- Er findet nicht unbedingt alle Nullstellen
- Er kann sogar gar keine Lösung finden
👉 Fazit: Auch du solltest deinen Startwert mit Bedacht wählen! Häufig bietet der Taschenrechner auch eine Möglichkeit die Nullstellen (roots) eines Polynoms zu berechnen. Nehmt dann das.
Newton-Verfahren live ausprobieren
Wähle die Startwerte nacheinander und beobachte, was passiert.
Fazit: Der Taschenrechner „weiß“ die Lösung nicht – er nähert sich ihr.
Und das funktioniert nur, wenn der Startwert sinnvoll gewählt ist.
Fazit: Zwei Wege, zwei Gedankenwelten
Beide Methoden, die Polynom-Division und das Newton-Verfahren, zeigen auf unterschiedliche Weise, wie man Funktionen durchdringen kann:
- Die Polynom-Division liefert exakte Lösungen – vorausgesetzt, man kennt mindestens eine Nullstelle.
- Das Newton-Verfahren nähert sich der Lösung – dafür braucht es nur eine Idee, wo man ungefähr suchen muss.
Wer versteht, dass ein Taschenrechner bei der Nullstellensuche ein Näherungsverfahren einsetzt – und dass der Startwert entscheidet, ob das klappt oder nicht –, hat das Wichtigste über das Newton-Verfahren bereits gelernt.
Zurückblicken oder weitermachen?
- Nullstellen berechnen – Teil I
- PQ-Formel verständlich erklärt – Teil II
- Mathe-Nachhilfe für Schüler:innen – individuell und online
Auch solche Themen lassen sich gut gemeinsam durchgehen – Schritt für Schritt, mit Taschenrechner, Funktionsterm und Aha-Effekt.
GLOSSAR
Deutsch – Englisch
Nullstelle - Root / Zero
Ableitung - Derivative
Polynom-Division - Polynomial Division
Näherungsverfahren - Approximation Method
Iteration - Iteration
Anfangsnäherung - Initial Guess
konvergieren - to converge
Differenzierbarkeit - Differentiability
(Divisions)Rest - Remainder / Residual Term
Hinweis: Die interaktive Newton-Animation wurde mit Unterstützung von ChatGPT programmiert.